irisuinwl’s diary

サークル不思議（略）入巣次元の、数学や技術的なことを書きます。

M.Davis Applied Nonstandard Analysisメモ②

数学 解析 超準解析 数学基礎論

DavisのNSAのメモです。

Dover publ. M.Davis, Applied Nonstandard Analysisを読んでます。

今は、Losの定理を証明して、concurrence theoremを証明し、自然数の超準集合に、無限大元が存在することを示したところです。



Concurrence Theorem:  Uをuniverse,  rを U上のconcurrence関係として、どんな a\in dom(r)についても < {} ^ * a, b> \in {} ^ * rとなる b \in {} ^ * Uが存在する。

ここで、concurrenceな関係とは a _ 1, \cdots a _ n \in dom(r)について、 < a _ i , b > \in r\ \ (i=1, \cdots ,n )となる b\in Uが存在することである。
これを使えば、自然数 \mathbb{N}についての関係 L = \{ < x,y > | x < y \}について、超準元（無限大元）が存在することが言えます。

今回は、p37最初にある
Sが有限であれば ^*Sに超準元は存在しないことについて考えていきます。

まず、単純に ^ {*} N-Nのconcurrence theoremでやった議論を有限集合でやったら矛盾が起きるかと思ったらそうではありません。

たとえば、 S = \{ 1,2,3 \} としたら < _ S = \{ <1,2>,<2,3> \}についてconcurrence theoremを用いると超準元であり標準元である ^ {*} 3=3について \forall a \in dom(< _ S), a < _ S {} ^ {*} 3となります。

ここで、示したい主張を以下のように言いかえます。



もし、individual集合 Sが有限であれば、超フィルター F\subset P(I)からの同値関係 \sim _Fに対して  S \cong S ^ I /\sim _Fである。

まず、 S = \{0,1\}について証明してみます。
S \subset S ^ I /\sim _Fは明らかなので逆を示します。
Sの元の標準表現をそれぞれ
\[
0=0 ^ I,\ \ 1=1 ^ I
\]
として、任意の a\in S ^ Iについて、
\[
S _ {a,0} = \{ \delta | a_ \delta = 0 \} ,\ \ S _ {a,1} = \{ \delta | a_ \delta = 1 \}
\]
とします。
すると、 S _ {a,0} \cup S _ {a,1} = I, S _ {a,0} \cap S _ {a,1}=\emptysetであり、
もし、 S _ {a, 0} \not \in F (\iff \mu _ F (S _ {a, 0})=0 )ならば超フィルターは補集合を元として含む（Applied NSAのTheorem 2.4）ので S _ {a, 0} ^ {C} = S _ {a,1} \in Fとなります。

では、同じ発想で一般の有限集合 S = \{s _ 1, \cdots, s _ n\}について証明します。
n=2の時と同様に任意の a\in S ^ I対して S _ {a, s _ i}=\{\delta | a_ \delta = s _ i\}と定めると I = S _ {a, s _ 1} \cup \cdots \cup S _ {a, s _ n}となる。
よって、
\[
1 = \mu _ F (I) = \mu _ F (S _ {a, s _ 1} \cup \cdots \cup S _ {a, s _ n})
\]
となるので、超フィルターによって定められる測度 \mu _ Fの有限加法性（あるいはすべての値が0であれば \mu _ F( A _ 1 \cup \cdots \cup A _ n)=0となる Theorem2.6を背理法に使う）により、 \mu _ F (S _ {a, s _ i}) = 1となる iが存在する。