M.Davis Applied Nonstandard Analysisメモ①

最近、M.DavisのApplied NSAを読んでます。

NSA+MLで同人誌を出しましたが、このままその方向で進めるなら、数理論理的、モデル理論的な扱い方を知らないのは困るな、と思ったので読んでます。

Chapter1.3 individual and superstructureについてのメモです。
（これは、英語で読むより日本語wikiを見たほうがニュアンスが伝わりやすいと思いました。 cf: 超準解析 - Wikipedia ）

Individualとは

論理構造を構成するときにIndividualな集合を用意します。

ここでIndividualな集合Sとは、 $\forall x\in S$ について、 $\forall y,y\in x$ とならない集合を言います。例えば実数集合 $\mathbb{R}$ はindividualですが、集合の集合 $X=\{\{1\},\{2\},\{1,2\},\emptyset\}$ はindividualにはなりません。なぜならば $\exists 1 \in \{1,2\}\in X$ なので。

色々な集合（集合の集合を含め）を考えるため、集合の元だけとなる、 $\in$ について最も`下`の集合を明示しているのだと思います。

transiveとは

続いて,individualな集合 $S$ について、transiveな集合と $\hat{S}$ を考えます。

transiveな集合 $A$ とは、任意の $x\in A$ について, $x\in S \vee x\subset A$ となることを言います。

ここで、 $\forall y\in x$ について $y\in A$ となります。なぜならば、 $y\in x$ となる $y$ について考えると、Sはindividualから $x\in S$ でないです。よって、 $y\in x \Rightarrow x\not\in S \Rightarrow x\subset A$ ,よって $y\in A$ .

つまり、transive(推移的)とは $\in$ について推移的( $x\in A,y\in x \Rightarrow y\in A$ )であることを言っております。

では、 $\hat{S}$ の定義ですが、

\[
S_n = \left\{
\begin{array}{ll}
S & n=0 \\
S_{n-1} \cup P(S_{n-1}) & n \geq 1
\end{array}
\right.
\]

として、 $\hat{S}=\bigcup S_i$ とします。ここで、 $S_i \subset S_{i+1}$ なので、集合論的に $\hat{S}=\lim_i S_i$ となってます。たとえばindividualな $S=\{1\}$ としたら、

\[
P(S)=\{\{1\}, \emptyset\},P(P(S))=\{ \{\{1\}, \emptyset\}, \{\{1\}\}, \{\emptyset\},\emptyset\}
\]

となり、

\[
S_0=S=\{1\},S_1=\{1,\{1\}, \emptyset\},S_2=\{1,\{1\}, \emptyset,\{\{1\}, \emptyset\}, \{\{1\}\}, \{\emptyset\}\},...
\]

となります。この具体例を考えると、 $S_1$ はtransiveになっています。 $x\in S_1$ で $x=\emptyset, \{1\}$ ならば $\emptyset \subset A$ であり、 $x=1$ ならば、 $x\in S$ です。よって、 $\forall x, x\in A\rightarrow x\in S \vee x\subset A$ です。